1. מבוא לסדרות עתיות
שלבי ניתוח ומודלים בסיסיים
ניתן לתאר סדרה עתית $X_t$ באמצעות שני מודלים עיקריים:
- מודל חיבורי (Additive): מניח שהשפעת הרכיבים אינה תלויה ברמת הסדרה.
$$ X_t = S_t + T_t + Y_t $$ - מודל כפלי (Multiplicative): מניח שהתנודות משתנות (גדלות/קטנות) יחד עם רמת הסדרה.
$$ X_t = S_t \cdot T_t \cdot Y_t $$
כאשר: $T_t$ (מגמה), $S_t$ (עונתיות), $Y_t$ (שארית/רעש מקריי).
2. רכיבי הסדרה
מגמה (Trend) ועונתיות (Seasonality)
מגמה (Trend): עלייה או ירידה כללית לאורך זמן. לא חייבת להיות ליניארית (יכולה להיות ריבועית או להשתנות כיוון).
עונתיות (Seasonality): דפוס מחזורי הקשור לתדירות הדגימה (חודשים בשנה, ימים בשבוע).
עונתיות: זינוק במכירות צעצועים בכל דצמבר (לקראת החגים).
3. אוטוקורלציה ואמידה
כללי אצבע עבור SACF וסימולציות
| סוג מודל (ס"ע) | התנהגות ה-SACF (קורלציה בפיגור $h$) |
|---|---|
| רעש לבן (WN) | For $h > 0, \text{SACF} \approx 0$ |
| מגמה (Trend) | יורד לאט לאפס |
| מחזורי (Periodic) | הגרף נראה מחזורי (גלי) |
| MA(q) | For $|h| > q, \text{SACF} \approx 0$ |
| AR(1) | שואף ל-0 בקצב מעריכי (אקספוננציאלי) |
* הערה מהרצאה 2: ה-SACF הוא אומד טוב ל-ACF רק כאשר מספר התצפיות ($N$) מספיק גדול. בסימולציות רואים שבמדגמים קטנים יכולה להיות שונות גדולה.
רעש לבן: אין קורלציה משמעותית בפיגורים מעבר ל-0.
4. מסננים והחלקה
ממוצע נע כמסנן ליניארי ומסנן ספנסר
ממוצע נע הוא סוג של מסנן ליניארי הניתן להצגה בצורה:
$$ m_t = \sum_{j=-\infty}^{\infty} a_j \cdot X_{t-j} $$כאשר למסנן ממוצע נע פשוט עם חלון של $2q+1$:
$$ a_j = \frac{1}{2q+1} \quad \text{for } -q \le j \le q $$* מסנן ספנסר (Spencer Filter): מסנן משוכלל יותר עם חלון בגודל 15 ($q=7$) המסוגל לסלק מגמות פולינומיאליות עד דרגה 3.
הזן סדרת מספרים מופרדים בפסיק. המחשבון יחליף כל מספר (מלבד הקצוות) בממוצע שלו ושל שכניו.
5. התמרות והפרשים
אופרטור ההפרש והפרש עונתי
-
הפרש מסדר ראשון (First Difference): מסיר מגמה ליניארית.
$$ \nabla X_t = X_t - X_{t-1} $$ -
הפרש עונתי (Seasonal Differencing): מסיר מחזוריות. למשל לנתונים חודשיים עם עונתיות שנתית ניקח פער של 12:
$$ \nabla_{12} X_t = X_t - X_{t-12} $$
6. מילון מושגים
- סדרה עתית (Time Series) $X_t$
- אוסף של תצפיות המסודרות בסדר כרונולוגי, מתוך מטרה לזהות דפוסים ולחזות ערכים עתידיים.
- SACF (Sample Autocorrelation Function)
- אומד מדגמי המודד את עוצמת הקשר בין תצפיות בסדרה לבין עצמן, בפער זמן (Lag) נתון $h$.
- ממוצע נע (Moving Average)
- שיטת החלקה המחליפה כל נקודת נתונים בממוצע של סביבתה הקרובה $W_t = \frac{1}{2q+1}\sum_{j=-q}^{q}X_{t-j}$.
- אופרטור הפרש $\nabla$
- פעולה מתמטית של חיסור התצפית הקודמת מהנוכחית להסרת מגמה: $\nabla X_t = X_t - X_{t-1}$.
- רעש לבן (White Noise - WN) $Y_t$
- סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים, בדר"כ עם תוחלת 0 ושונות קבועה. מייצג את החלק האקראי שלא ניתן לחזות.
7. שאלות בדיקה עצמית
1. על פי כללי האצבע, איך נראה גרף ה-SACF של תהליך "רעש לבן" (WN)?
2. מהי הפעולה המבוצעת על ידי הנוסחה $\nabla_{12} X_t = X_t - X_{t-12}$?
3. אם משרעת התנודות העונתיות גדלה ככל שרמת הסדרה עולה, באיזה מודל נעדיף להשתמש?